Por Manuel Luiz Figueiroa (*)

Triângulo de Pascal

Blaise Pascal (1623–1662) sistematizou, no século XVII, uma disposição numérica já conhecida por matemáticos chineses, persas e indianos.

O Triângulo de Pascal é simultaneamente uma estrutura matemática e um símbolo frequentemente associado à chamada “matemática sagrada”, isto é, à interpretação filosófica dos padrões numéricos presentes na natureza. Compreender o triângulo de Pascal é viajar pelos mistérios do universo.

Construindo o triângulo de Pascal

Inicia-se com o número 1 no vértice superior. Cada linha começa e termina com 1. Cada número interno é a soma dos dois números imediatamente acima. Exemplo:

Propriedades do triângulo de Pascal:

1. a) Os coeficientes binomiais da expansão de Exemplificando: 1ª linha.  n = 0; ⁰= 1; 2ª linha.  n = 1; ¹ = 1a +1b; 3ª linha.  n = 2; ² = 1a² + 2 ab + 1b²   ; 4ª linha.     n = 3; ³ = 1a³ + 3 a² b + 3 a b² + 1 b³    ; 5ª linha. n = 4;  e assim por diante.
2. b) Progressões aritméticas (PA)

b1. As Diagonais

A Diagonal das Constantes (1ª diagonal): Composta apenas por números uns (1, 1, 1, 1, …). É uma PA de razão zero.

A Diagonal dos Números Naturais (2ª diagonal): Contém a sequência com razão um 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

b.2. Progressões aritméticas de Ordem Superior

Em uma PA comum (1ª ordem), a diferença entre um número e o seu antecessor é constante. Na de 2ª ordem, a taxa de mudança é que muda de forma constante. Na terceira diagonal, números triangulares, do triângulo de Pascal, registra-se: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 … e observa-se que esses números não formam uma PA de 1ª ordem, isto é, a diferença entre dois números sucessivos, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …, não é constante, mas essas diferenças formam uma PA de 1ª ordem. Desta forma, diz-se que 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36,… é uma PA de segunda ordem. Na quarta diagonal, números tetraédricos, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, … a diferença entre números sucessivos, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … e a diferença destes, 3, 4, 5, 6, 7, … é que formam a PA, desta forma os números tetraédricos estão em PA de terceira ordem.

c) Sequência de Leonardo Fibonacci – na segunda diagonal tem-se 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, … e neste conjunto está inserido a sequência de Fibonacci, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … que nos fornece o número sagrado. 1,618…, dado pela fórmula F_n+1 / F_n, com n tendendo para infinito.

d) As somas das linhas do triângulo de Pascal são potências de 2 e, portanto, formam uma Progressão Geométrica de razão 2: 1 = 2⁰, 1+1= 2¹, 1+2+1 = 2², 1+3+3+1 = 2³, 1+4+6+4+1= 2⁴, 1+5+10+10+5+1= 2⁵…

Espiral de Fibonacci

Construindo a espiral de Fibonacci

A partir de um quadrado de lado 1 anexa-se outro de lado 1, em seguida anexa-se um quadrado de lado 2, continua-se anexando um quadrado de lado 3, outro de lado 5, de lado 8, de lado 13, de lado 21, de lado 34 e assim por diante indefinidamente. Desta forma, obtém-se o gráfico da espiral de Fibonacci com a sua sequência, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Triângulo de Sierpinski

Construindo o triângulo de Sierpinski

Inicia-se com um triângulo equilátero. Constrói-se um triângulo com os pontos médios de seus lados, excluindo-se este do processo, obtendo-se mais três triângulos. Em cada um desses três triângulos repete-se o processo indefinidamente, obtendo-se a figura do triângulo de Sierpinski. Este procedimento leva à obtenção de novos triângulos semelhantes com autorreplicação.

O Delta Luminoso como forma primordial

O Delta Luminoso é um símbolo central na Maçonaria. Representa a presença divina, a perfeição e a conexão entre o homem e o Grande Arquiteto do Universo.

Ele é conhecido, também, como Delta Sagrado, tem forma de um triângulo equilátero que contém em seu centro um olho ou (e) a letra “G” e simboliza a presença do GADU, que conduz os trabalhos em loja. É a busca da sabedoria e da verdade, um convite à reflexão sobre a jornada espiritual de cada maçom.

Interpretação geométrica, filosófica e simbólica

A origem é o ponto, infinitamente pequeno, sem dimensão, que, submetido a um deslocamento, gera uma reta com uma estrutura de infinitos pontos. Nessa reta, toma-se dois pontos distintos com um terceiro ponto fora dela, obtendo-se um triângulo que define o plano. É fato que, ao se tomar pontos fora do plano, outras estruturas serão formadas.

O mesmo procedimento é observado em Pascal, iniciando com o número 1, a unidade, que, ao se unir a outra, gera a dualidade, o triunvirato, a quadruplicidade etc., que em uma determinada ordenação gera a famosa forma triangular, apresentando em suas linhas a estrutura combinatória.

Da diagonal de Pascal, extrai-se a sequência de Fibonacci, representada pela famosa espiral, que teve origem numa pequena estrutura de um quadrado, ampliando-se com quadrados de lado da famosa sequência, repetindo o processo da criação do maior a partir do menor infinitamente.

Sierpinski, tomando um triângulo equilátero e, neste, unindo seus pontos médios, obteve outros triângulos equiláteros que, repetindo o processo com a exclusão do central, trabalha com mais três triângulos numa repetição do procedimento infinitamente.

Mostra uma ordem matemática de autossemelhanças, expansão natural, numa perfeita sintonia entre número, ritmo e repetição.

Tudo converge para três leis: forma, crescimento e repetição, coexistindo, Fibonacci – diagonais, Sierpinski – paridade fractal e, simetria com ordem combinatória em Pascal.  Assim, os números triangulares organizam pontos na segunda dimensão, números tetraédricos os organizam na terceira dimensão, enquanto os fractais organizam padrões infinitos em qualquer dimensão. Enquanto os números triangulares e tetraédricos são estruturas, os fractais apontam para o infinito dentro do finito. Ao conectar-se triângulo com ordem, pirâmide e tetraedro com elevação e, ainda, fractal com infinito, aproximamo-nos da ideia de que a realidade não é linear, ela é irregular, com padrão desconhecido, numa concordância com a tese defendida por Benoit Mandelbrot.

Em um fractal, como no Triângulo de Sierpinski, pode ser visto que:  Um triângulo pode conter infinitos triângulos dentro dele. Ou seja: O grande contém o pequeno, o pequeno reflete o grande. Isso é exatamente o princípio da autossemelhança.

Ao se imaginar o Delta Luminoso de forma fractal: Cada triângulo interno é uma “centelha” da luz maior. A luz central não é única — ela se replica em cada nível, desta forma, o Delta deixa de ser apenas um símbolo estático, passando a ser um sistema vivo de expansão da luz.

Isto posto, o Delta representa a verdade una, o fractal mostra que essa verdade é acessada em níveis.

A luz não é recebida de uma vez.

Ela se revela progressivamente, em camadas. Muito semelhante ao caminho da luz seguido pelo neófito, aprendiz, companheiro e mestre maçom.

Como o Delta representa a luz…, então o fractal mostra que: a luz não está apenas no topo — ela está em cada parte da construção. Da mesma forma que os condutores da luz, em seus graus de intensidades, são todos os maçons do universo. Desta forma, compreende-se que cada unidade do corpo da maçonaria universal já contém luz, cada qual com o seu grau de luminosidade, clareando o caminho para os de menor luminosidade. O processo é reconhecer que todos já possuem a luz, mas, incessantemente, procuram mais luminosidade. Com os irmãos convivendo em união, sob as luzes emanadas do Delta, o caminho está sinalizado, evitando, assim, a perda do irmão para o caminho das trevas.

Simbolicamente – Pascal mostra a lei. Fibonacci mostra o movimento. Sierpinski mostra a eternidade e o Delta mostra a consciência que percebe tudo isso.

Delta Luminoso Fractalizado – A luz que replica em todos os níveis

O delta luminoso como forma primordial

O triângulo equilátero representa equilíbrio, verdade e perfeição.

A luz central é o princípio consciente, a centelha da verdade.

• Autossemelhança fractal

Ao subdividir o triângulo em quatro partes e remover a central, surge um novo padrão.

Cada triângulo menor é semelhante ao maior, mesma forma, mesma proporção, mesma essência.

• Expansão infinita

O processo se repete infinitamente, criando infinitos triângulos como fontes de luz.

O grande contém o pequeno e este, contido no grande, metamorfoseia-se numa única fonte de luz.

• Significado simbólico
  • Luz – Consciência, verdade e conhecimento.
  • Triângulo – Estabilidade, harmonia, trindade (corpo, mente e espírito).
  • Fractal – A verdade se revela em níveis. Cada grau, cada experiência, cada irmão contém o todo.
  • Infinito – O caminho é sem fim, mas cada passo já contém a luz.

O delta luminoso fractalizado ensina: buscar a luz é iniciar a caminhada, reconhecendo que ela está ao longo do percurso, eis aí a verdadeira maestria.

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Bibliografia

– Matemática e Estruturas Numéricas

PASCALE, Blaise. Traité du triangle arithmétique.

LIVIO, Mario. A Razão Áurea: A história de Phi, o número mais surpreendente do mundo.

DEVLIN, Keith. The Math Gene.

STEWART, Ian. Concepts of Modern Mathematics.

– Fractais e Complexidade

MANDELBROT, Benoit. The Fractal Geometry of Nature.

BARNSLEY, Michael. Fractals Everywhere.

História da Matemática

– BOYER, Carl B. História da Matemática.

– EVES, Howard. Introdução à História da Matemática.

Filosofia e Simbolismo

– GUÉNON, René. Símbolos da Ciência Sagrada.

– ELIADE, Mircea. O Sagrado e o Profano.

Maçonaria e Simbolismo

– MACKEY, Albert G. Enciclopédia da Maçonaria.

– WILMSHURST, W. L. The Meaning of Masonry.

– CASTELLANI, José. O Simbolismo Maçônico.

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